El grupo de Análisis No Lineal y Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP), línea de investigación fundamental del Centro de Modelamiento Matemático (CMM), ha desarrollado técnicas matemáticas de alto nivel con aplicaciones a la física de altas energías, biología, ciencias del clima, y mercados financieros, entre otras áreas.
Avances teóricos destacados
Conjetura de De Giorgi en altas dimensiones
Uno de los logros más relevantes en el área fue la demostración de un caso de la conjetura de De Giorgi, un problema abierto de larga data en ecuaciones en derivadas parciales.
Investigadores del CMM —Michal Kowalczyk, Manuel del Pino y Juncheng Wei— demostraron que, en dimensiones mayores o iguales a ocho, las soluciones de la ecuación de Allen-Cahn no son unidimensionales, como se creía.
“Es un resultado muy sorprendente, porque se pensaba que todas las soluciones posibles de esta ecuación debían tener una cierta forma. Sin embargo, ellos probaron que no era el caso”, explica Claudio Muñoz, investigador principal del CMM.
Este descubrimiento desafió una visión ampliamente aceptada en la comunidad matemática y abrió nuevas líneas de investigación en análisis no lineal.
Colaboraciones internacionales de alto impacto
Estabilidad de las soluciones tipo “kink” en modelos de física de altas energías
En colaboración con el investigador francés Yvan Martel, los investigadores Hanne Van Den Bosch, Michal Kowalczyk y Claudio Muñoz demostraron que soluciones especiales (llamadas kinks) en modelos no lineales de campo escalar (utilizados en física teórica) son asintóticamente estables. Esto significa que, incluso bajo perturbaciones, estas soluciones tienden a un estado final único. Este hallazgo ha influido en diversas ideas y nuevas técnicas analíticas que han aparecido estos años dentro del campo.
Resultado anterior en el modelo phi4 (2017)
En una línea similar, el grupo también obtuvo en 2017 la estabilidad asintótica de la solución de tipo kink en el modelo phi4, un sistema de campo escalar también derivado de la física de altas energías.
“Este resultado ha sido fuertemente citado y ha permitido desarrollar mucho más la investigación en esta área en los últimos años”, comenta Muñoz.
Este trabajo ha sido fundamental en consolidar la relevancia internacional del grupo en el estudio dinámico de soluciones solitónicas.
Aplicaciones científicas y proyección del grupo
El grupo de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) del CMM ha desarrollado técnicas matemáticas de alto nivel con aplicaciones a la física de altas energías, biología, ciencias del clima, y mercados financieros, entre otras áreas.
Las ecuaciones en derivadas parciales permiten modelar sistemas donde los fenómenos cambian en el espacio y el tiempo de manera continua. “Estas ecuaciones permiten modelar la naturaleza: el clima, los mercados, las células, el universo… Comprenderlas nos permite entender mejor nuestra realidad y aumentar el conocimiento sobre el mundo que nos rodea”, concluye Claudio Muñoz.
Por Javiera Márquez, para Comunicaciones CMM